Question

（本小题满分14分）

已知函数f (x)＝（2－a）（x－1）－2lnx，（a∈R，e为自然对数的底数）

（1）当a＝1时，求f (x)的单调区间；

（2）若函数f (x)在（0，）上无零点，求a的最小值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的单调减区间为单调增区间为；

     （Ⅱ）若函数在上无零点，则的最小值为。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）当时，

由由借助于导数可知    

故的单调减区间为单调增区间为 

（2）因为在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，

只要对任意的恒成立，即对恒成立．

运用转换与化归思想得到证明。

解：（Ⅰ）当时，

由由                  

故的单调减区间为单调增区间为         ------------------6分

     （Ⅱ）因为在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，

只要对任意的恒成立，即对恒成立．

令则

再令

在上为减函数，于是

从而，，于是在上为增函数

故要使恒成立，只要

综上，若函数在上无零点，则的最小值为-----------8分