【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
和
,过点
的直线与椭圆相交于
两点,且
,
。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点
在
的外接圆上,求
的值
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由且
,得
,从而
,由此可以求出椭圆的离心率;(2)当
时,得
,
, 线段
的垂直平分线
的方程为
直线
与
轴的交点
是
外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
,设直线
的方程为
,由
,可以推导出
的值.
试题解析:(1)解:由//
且
,得
,从而
整理,得,故离心率
(2)解法一:由(II)可知
当时,得
,由已知得
.
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴
的交点是
外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
.
直线的方程为
,于是点H(m,n)的坐标满足方程组
, 由
解得
故
当时,同理可得
.
解法二:由(II)可知
当时,得
,由已知得
由椭圆的对称性可知B, ,C三点共线,因为点H(m,n)在
的外接圆上,
且,所以四边形
为等腰梯形.
由直线的方程为
,知点H的坐标为
.
因为,所以
,解得m=c(舍),或
.
则,所以
.
当时同理可得
.
【 方法点睛】本题主要考查椭圆性质与离心率以及圆的方程与性质,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出
;②构造
的齐次式,求出
;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的左右焦点分别为F1,F2,点P 在椭圆上运动,
的最大值为m,
的最小值为n,且m≥2n,则该椭圆的离心率的取值范围为________
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分别为
的中点.
(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线段;
(2)设AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.
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【题目】(本小题满分13分)已知函数(
为常数,
)
(1)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(2)求证:当时,
在
上是增函数;
(3)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求正实数
的取值范围.
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【题目】已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点
在
轴的正半轴上,过焦点
作斜率为
的直线交抛物线
于
两点,且
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点,直线
分别交准线
于点
,问:在
轴的正半轴上是否存在定点
,使
,若存在,求出定点
的坐标,若不存在,试说明理由.
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