Question

抛物线（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x₀，0），比较x₀与3p大小；
（2）若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，求++…+的值.

Answer 1

解：设直线l方程为y=k（x+p），代入y²=4px.
得k²x²+（2k²p－4p）x+k²p²=0.Δ=4（k²p－2p）²－4k²·k²p²>0，得0<k²<1.
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=－，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=，
AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y－=－（x－）.
令y=0，得x₀==p+.由上可知0<k²<1，∴x₀>p+2p=3p.∴x₀>3p.
（2）解：∵l的斜率依次为p，p²，p³，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N₁，N₂，N₃，….
∴点N_n的坐标为（p+，0）.
|N_nN_n+1|=|（p+）－（p+）|=，=，
所求的值为［p³+p⁴+…+p²¹］=，因为0<k²<1，所以0<P<1

略