Question

定义：一个数集的和就是这个集合中所有元素的和．设S是由一些不大于15的正整数组成的集合，假设S中的任意两个没有相同元素的子集有不同的和，则具有这种性质的集合S的和的最大值为（　　）

• A、76
• B、71
• C、66
• D、61

Answer 1

分析：根据定义，对S中元素的个数进行讨论，确定S和的最大值即可．

解答：解：根据定义：先证明S元素个数至多是5．
如果多于5个，则元素个数不超过4的子集至少有C

1 6

+C

2 6

+C

3 6

+C

4 6

=56个
每个子集的和S≤12+13+14+15=54，
故必有两个子集的和相等．∴不成立．
即S的元素个数n≤5，
∴S的和S≤15+14+13+12+11=65．如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15+14+13+12+11少3）．这时S中无其它的连续整数，
因而只有一种情况即{15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件．
∴S的和S≤61．特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61，
故选：D．

点评：本题主要考查与 集合有关的新定理，难度较大，非常难理解，是个难题．