Question

（2010•天津模拟）如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD=60°，再在α的上方，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB=90°．
（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BD⊥PQ，利用线面垂直的性质可知，只需证明BD⊥平面PQE，利用△PBD与△QBD是全等等腰△．取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故可证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形，从而可求二面角的大小；
（Ⅲ）　由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，利用等体积，可求点P到平面QBD的距离．

解答：（Ⅰ）证明：由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，
可知△PBD与△QBD是全等等腰△．…（1分）
取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．
∵PE∩QE=E
∴BD⊥平面PQE，…（3分）
∵PQ?平面PQE
∴BD⊥PQ．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，…（5分）
作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，
则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，
从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．　　　　　　　　　…（6分）
可得ME=NE=

3

6

，PE=QE=

1

2

，PQ=MN=

3

3

，…（7分）
∴cos∠PEQ=

PE2+QE2-PQ2

2PE•QE

=

1

3

，
即二面角为arccos

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．
设点P到平面QBD的距离为h，则VP-QBD=

1

3

•S△QBD•h=

1

12

h
又VP-QBD=

1

3

S△PEDBD=

1

24

sin∠PEQ=

1

24

1-( 1 3 )2

=

2

36

．
∴

1

12

h=

2

36

．
∴h=

2

3

．…（12分）

点评：本题以多面体为载体，考查线面垂直的性质，考查线线垂直，考查面面角，考查点面距离，解题的关键是合理运用线面垂直的性质，正确作出面面角．