Question

设直2x-3y-1=0与x+y+2=0的交点为P．
（1）直线l经过点P且与直3x+y-1=0垂直，求直线l方程．
（2）求圆心在直线3x+y-1=0上，且经过原点O和点P的圆方程．

Answer 1

分析：由已知可求P，
（1）法一根据所求直线与直线l与直3x+y-1=0垂直，可求直线l的斜率．根据直线的点斜式即可求解
法二：利用直线系可设过两直线的交点的直线方程为2x-3y-1+λ（x+y+2）=0，然后根据l与直3x+y-1=0垂直可求λ即可求解
（2）法一：由题意可设圆心为M，然后根据已知可得PM=OM，根据两点间的距离公式可求M，进而可求半径，即可求解
法二：由题意可知，圆心在OP的垂直平分线上，根据题意求出OP的垂直平分线的方程，联立已知方程即可求解圆心，半径r，即可求解

解答：解：由

2x-3y-1=0 x+y+2=0

可得P（-1，-1）
（1）法一：∵直线l与直3x+y-1=0垂直，
∴k=

1

3

∴所求直线l方程为y+1=

1

3

（x+1）即x-3y-2=0
法二：设过两直线的交点的直线方程为2x-3y-1+λ（x+y+2）=0
即（2+λ）x+（λ-3）y+2λ-1=0
∵l与直3x+y-1=0垂直
∴3（2+λ）+（λ-3）=0
∴∴λ=-

3

4

代入可得所求直线的方程为x-3y-2=0
（2）法一：由题意可设圆心为M（a，1-3a）
∵圆经过原点O和点P
∴PM=OM
即

(a+1)2+(2-3a)2

=

a2+(1-3a)2

解可得a=1
∴圆心（1，-2）半径r=OM=

5

∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=5
法二：∵圆经过原点O和点P
∴圆心在OP的垂直平分线上，
∵K_OP=1，OP的中点（-

1

2

，-

1

2

）
而OP的垂直平分线为y+

1

2

=-(x+

1

2

)即x+y+1=0
联立

x+y+1=0 3x+y-1=0

可得圆心（1，-2），半径r=

5

∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=5

点评：本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求解，圆的方程的求解，注意不同解法的灵活应用