Question

8．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率；
（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．

Answer 1

分析 （1）记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验，由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，能求出试验被否定（即新药无效）的概率．
（2）由新药无效，得p=0.25，由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，能求出试验被认为有效的概率．

解答 解：（1）记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验，
∵新药有效且p=0.35，∴由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为：
P₁₀（0）+P₁₀（1）+P₁₀（2）+P₁₀（3）
=${C}_{10}^{0}$p⁰（1-p）¹⁰+${C}_{10}^{1}$p¹（1-p）⁹+${C}_{10}^{2}$p²（1-p）⁸+${C}_{10}^{3}$p³（1-p）⁷≈0.5138．
（2）∵新药无效，∴p=0.25，试验被认为有效的概率为：
P₁₀（4）+P₁₀（5）+…+P₁₀（10）
=1-P₁₀（0）-P₁₀（1）-P₁₀（2）-P₁₀（3）≈0.224 2．
答：新药有效，但通过试验被否定的概率为0.513 8；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式的合理运用．