【题目】设集合,是正数,且.试求交集的元素个数的最大可能值.
【答案】见解析
【解析】
不妨设,且和都是正整数(),但等比数列,,,…,的各项不一定都是整数,则有
.
显然,(表示集合的元素个数).下面对公比分别为有理数和无理数进行讨论.
(1)设(与互素,且)下面再对分三种情况进行讨论.
当时,由知.由得,,从而,.
当时,由知.由得,,从而.
另一方面,确实存在公比为的6项等比数列:
128,192,288,432,648,972.(如何构造的?)
当时,,.因为与互素,所以,从而.由此即得,,.
故当为有理数时,的最大可能值是6.
(2)设为无理数.由为有理数知为有理数,所以存在最小的正整数,使为有理数(显然).设被除所得余数为,即(和为非负整数,且).由知为有理数,再由的最小性知只能有,即.
记,则由上可知在中,只须用来代替(因为中其他的项为无理数),是公比为有理数,首项为,末项为的等比数列,这就化归为公比为有理数的情况(1)了.
综合上述即知:的最大可能值是6.
注:本题是根据加拿大第四届(1972年)奥林匹克试题第10题改编的.原题为:在公比大于1的等比数列中,最多有几项是在100和1000之间的整数?这是一个佳题.在[1]和别的资料的解答中,都事先假定了等比数列的各项都为整数,其实这样是不严密的(尽管答案是对的),这里给出的解答试图纠正这一不妥之处.
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【题目】给出下列五个命题:①过点的直线方程一定可以表示为的形式;②过点且在x,y轴截距相等的直线方程是;③过点且与直线垂直的直线方程是;④设点不在直线上,则过点M且与直线l平行的直线方程是;⑤点到直线的距离不小于2.以上命题中,正确的序号是( )
A.②③⑤B.④⑤C.①④⑤D.①③
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【题目】“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位:的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立,求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率;
Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示,又知乙品种杨梅的单位利润为元,请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大?需说明理由
降雨量 | ||||
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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【题目】如果函数在定义域内存在区间,使得该函数在区间上的值域为,则称函数是该定义域上的“和谐函数”.
(1)判断函数是不是“和谐函数”,并说明理由;
(2)若函数是“和谐函数”,求实数的取值范围.
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【题目】 如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点.
(1)求证:DE=DA;
(2)求证:平面BDM⊥平面ECA;
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【题目】已知的三顶点坐标分别为,,.
(1)求的外接圆圆M的方程;
(2)已知动点P在直线上,过点P作圆M的两条切线PE,PF,切点分别为E,F.
①记四边形PEMF的面积分别为S,求S的最小值;
②证明直线EF恒过定点.
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【题目】如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,.
(1)求证:平面AEC⊥平面BCED;
(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数(a为实常数).
(1)若,作函数的图象并写出单调减区间;
(2)当时,设在区间上的最小值为,求的表达式;
(3)当时对于函数和函数,若对任意的,总存在使成立,求实数m的值.
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