【题目】(Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣3|﹣2|x|,若关于x不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求证 .
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=|2x﹣3|﹣|2x|≤|(2x﹣3)﹣2x|=3, ∴3≤|a+2|+2a,
当a<﹣2时,不等式为3≤﹣a﹣2+2a,解得a≥5(舍),
当a≥﹣2时,不等式为3≤a+2+2a,解得a≥ ,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
(Ⅱ)∵2x+y+z=1,∴(x+2y+z)+(z+3x)=4x+2y+2z=2,
∴ =
(
)[(x+2y+z)+(z+3x)]
≥ ×(1+
)2=2+
.
【解析】(I)利用绝对值不等式的性质得出f(x)的最大值,得出关于a的不等式,再讨论a+2的符合解不等式即可;(II)利用柯西不等式即可得出结论.
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能正确解答此题.
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【题目】如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(1)求证:BC⊥面CDE;
(2)在线段AE上是否存在一点R,使得面BDR⊥面DCB,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)对任意的x∈R,都有f(﹣x)+f(x)=﹣6,且当x≥0时,f(x)=2x﹣4,定义在R上的函数g(x)=a(x﹣a)(x+a+1),两函数同时满足:x∈R,都有f(x)<0或g(x)<0;x∈(﹣∞,﹣1),f(x)g(x)<0,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣3,0)
B.
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣3,﹣1]
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【题目】如图所示,近日我渔船编队在岛周围海域作业,在岛
的南偏西20°方向有一个海面观测站
,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与
相距31海里的
处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛
直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达
处,此时观测站测得
间的距离为21海里.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛?
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【题目】某学校参加某项竞赛仅有一个名额,结合平时训练成绩,甲、乙两名学生进入最后选拔,学校为此设计了如下选拔方案:设计6道测试题,若这6道题中,甲能正确解答其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为.假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立,互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答.
(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率;
(2)从数学期望和方差的角度分析,应选拔哪个学生代表学校参加竞赛?
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【题目】对于定义域为R的函数f(x),若满足①f(0)=0;②当x∈R,且x≠0时,都有xf'(x)>0;③当x1≠x2 , 且f(x1)=f(x2)时,x1+x2<0,则称f(x)为“偏对称函数”. 现给出四个函数:g(x)= ;φ(x)=ex﹣x﹣1.
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 .
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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