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已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1)
①判断函数F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并证明.
②解不等式:F(x)=f(x)-g(x)>0.
考点:指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断
专题:函数的性质及应用
分析:①先求得定义域为{x|-1<x<1},由奇偶性的定义可判;
②原不等式可化为loga
1+x
1-x
>0,当a>1时,不等式等价于
1+x
1-x
>1,当0<a<1时,不等式等价于0<
1+x
1-x
<1,分别解不等式结合定义域可得.
解答: ①证明:由1+x>0和1-x>0可得-1<x<1,
∴函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|-1<x<1},
∵F(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),
∴F(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-F(x),
∴函数F(x)=f(x)-g(x)为奇函数;
②解:由①不等式F(x)=f(x)-g(x)>0可化为loga(1+x)-loga(1-x)>0,
由对数的运算性质可得loga
1+x
1-x
>0,
当a>1时,上不等式等价于
1+x
1-x
>1,解得x>0,结合定义域可得解集为{x|0<x<1};
当0<a<1时,上不等式等价于0<
1+x
1-x
<1,解得x<0,结合定义域可得解集为{x|-1<x<0}
点评:本题考查函数奇偶性的判定,涉及对数的运算和分类讨论的思想,属基础题.
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A、bf(a)>af(b)
B、af(a)>bf(b)
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D、af(a)<bf(b)

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A、{x|-1≤x<1}
B、{x|-1<x<1}
C、{x|0<x<1}
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B、2:3:4
C、3:4:5
D、1:
3
:2

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个.

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下列函数中值域是(0,+∞)的是(  )
A、y=log2(x2-2x-3)
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1
|x|
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2
-1与
2
+1的等比中项是(  )
A、1B、±1
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A、(
2
3
,+∞)
B、(-∞,
2
3
)
C、(0,
2
3
)
D、(
2
3
,1)

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