Question

【题目】(2015·四川）已知函数f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.对于不相等的实数x1, x2 ， 设m=，n=.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数x1, x2 ， 都有m>0；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）对于任意的a ， 存在不相等的实数x1, x2 ， 使得m=n；
（4）对于任意的a ， 存在不相等的实数x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.

Answer 1

【答案】①④
【解析】设A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 对(1), 从y=2x的图像可看出， m=KAB>0,恒成立， 故正确。对（2), 直线CD的斜率可为负， 即n<0， 故不正确。对（3），由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 则h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得， 2xln2=2x+a， 做出y=2xln2, y=2x+a的图像可知， 方程2xln2=2x+a不一定有解， 所以h(x)不一定有极值点， 即对任意的a，不一定存在不相等的实数x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即不一定存在不相等得实数x1, x2使得m=n，故不正确。
对（4），由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2)， 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 则h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得， 2xln2=-2x-a， 做出y=2xln2, y=-2x-a的图像可知， 方程2xln2=-2x-a一定有解， 所以h(x)一定有极值点， 即对任意的a，一定存在不相等的实数x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即一定存在不相等得实数x1, x2使得m=n，故不正确。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用导数的几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即．