Question

17．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则$\frac{sin2A}{sinB}$=$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．

解答 解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{11}{16}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
∴$\frac{sin2A}{sinB}$=$\frac{2sinAcosA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{15}}{8}×\frac{7}{8}}{\frac{3\sqrt{15}}{16}}$=$\frac{7}{6}$．
故答案为：$\frac{7}{6}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．