【题目】如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,从而AC⊥平面BDE;(Ⅱ)建立空间直角坐标系D-xyz,分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值
试题解析:(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以DE⊥AC. 因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又BD,DE相交且都在平面BDE内,从而AC⊥平面BDE.
(2)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.
因为DE⊥平面ABCD,所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE与平面ABCD所成角为60°,所以∠DBE=60°,所以
由AD=3可知DE=3,AF=.
由A(3,0,0),F(3,0, ),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),
得=(0,-3, ),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
则即令z=,则n=(4,2, ).
因为AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量m=(3,-3,0),
所以cos〈n,m〉==.
因为二面角为锐角,所以二面角FBED的余弦值为.
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【题目】设函数f(x)=|2x+1|+|x+1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤8的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)>|a-2|对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试,学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人.
(1)若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求a,b的值;
(2)若样本中,求在地理成绩及格的学生中,数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.
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【题目】(导学号:05856263)
已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点N,过点N作圆M:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为P、Q,且|PQ|=.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点,A、B两点的横坐标均不为2,连接AM,BM并延长分别交抛物线于C、D两点,设直线CD的斜率为k2,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】2016年1月,某国宣布成功进行氢弹试验后,A,B,C,D四国领导人及联合国主席纷纷表示谴责,就此,某电视台特别邀请一军事专家对这一事件进行评论,若该军事专家计划从A,B,C,D四国及联合国主席这5个领导人中任选2人的发言态度进行评论,那么,他评论的这2人中至少包括A、B一国领导人的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数 (a为常数)有两个极值点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.
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【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元.
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