Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．根据等腰三角形三线合一的性质可得PO⊥AC，PO⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取PA的中点N，连接MN，由三角形中位线定理可得MN∥AD，则∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，解三角形NMC即可得到异面直线AD与CM所成角的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得MN=1，NC=

3

，PD=

6

所以，MC=

PC2-PM2

=

4- 6 4

=

10

2

故  cos∠NMC=

MN2+MC2-NC2

2MN•MC

=

10

20

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是添加辅助线，利用等腰三角形的性质得到线线垂直，为线面垂直的判定准备条件，（II）的关键是得到∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，进而将异面直线的夹角转化为解三角形问题．