Question

如图,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为AB，B₁C₁，AA₁的中点，

(1)求证：EF⊥平面GBD；

(2)求异面直线AD₁与EF所成的角．

Answer 1

(1)证明1：取BC的中点H，连EH，

易得EH是EF在平面AC上的射影，

∵BD⊥EH，

∴由三垂线定理，得 EF⊥BD；

又∵EF在平面AB₁上的射影是B₁E，由△BB₁E∽△ABG，得B₁E⊥BG，

∴由三垂线定理，得 EF⊥BG，

∵BG∩BD=B，∴EF⊥平面GBD．

(2)解法1：取C₁D₁的中点M，连EM，易得EM∥AD₁，

所以∠EFM就是异面直线AD₁与EF所成的角，

∵MF∥BD，∴EF⊥MF.

在Rt△EFM中，由EM=a，(a为正方体的棱长)，EF=a，得∠EFM=30°．

AD₁与EF所成的角为30°．

解法2：(向量法)略