Question

设集合S={1，2，3，…，2008}，现对S的任一非空子集X，令a_x表示X中最大数与最小数之和，那么所有这样的a_x的平均数为

2009

．

Answer 1

分析：因为对于M的任一非空子集Z={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的对称集Z′={2009-n₁，2009-n₂，2009-n₃，…}，对称集的最大值与最小值的平均数为2009．

解答：解：对于M的任一非空子集Z={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的对称集Z′={2009-n₁，2009-n₂，2009-n₃，…}．
例如：当Z={1，2，4，6}，则Z′={2003，2005，2007，2008}
对于M的所有非空子集Z和它的对称集Z′，分成两种情况：
A）Z=Z′
B）Z≠Z′
设Z的最大数与最小数分别为max，min
如果Z=Z′，则max+min=max+（2009-max）=2009
如果Z≠Z′，则Z′的最大数与最小数分别为2009-min，2009-max，
Z与Z′中最大数与最小数之和的算术平均数=[（max+min）+（2009-min+2009-max）]÷2=20019
以上说明对M的所有非空子集分类后，每个类中Z的最大数与最小数之和的算术平均数都等于1001，故所求的算术平均数也是2009
故答案为2009

点评：解决集合间的包含关系，应该利用集合关系的定义进行解决．