Question

3．已知实数x，y，z，满足x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，xyz=2，求x的最小值和|x|-|y|-|z|的最大值．

Answer 1

分析 ①由x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，可得2≤2x+x+x，可得x≥$\frac{1}{2}$．由2x+y+z=2，xyz=2，可得y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，因此y，z是一元二次方程t²-（2-2x）t+$\frac{2}{x}$=0的两个实数根，利用△≥0，可得x≥2．即可得出x的最小值．
②由①可知：y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，x≥2，y与z同号且y，z＜0，可得|x|-|y|-|z|=-x+2，即可得出．

解答 解：①∵x≥y，x≥z，且2x+y+z=2，
∴2≤2x+x+x，可得x≥$\frac{1}{2}$．
∵2x+y+z=2，xyz=2，
∴y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，
∴y，z是一元二次方程t²-（2-2x）t+$\frac{2}{x}$=0的两个实数根，
∴△=（2-2x）²-$\frac{8}{x}$≥0，
化为（x-2）（x²+1）≥0，
解得x≥2．
当x=2时，y=z=-1．
∴x的最小值为2．
②由①可知：y+z=2-2x，yz=$\frac{2}{x}$，x≥2，
y与z同号且y，z＜0，
∴|x|-|y|-|z|=x+（y+z）=x+（2-2x）=-x+2≤0，
∴|x|-|y|-|z|的最大值为0．此时x=2，y=z=-1．

点评 本题考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．