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已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)求证:,e是自然对数的底数).

(Ⅰ)函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(Ⅱ)实数a的取值范围是;(Ⅲ)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可;(Ⅱ)当时,不等式恒成立,即恒成立,令 (),只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围;(Ⅲ)要证成立,即证,即证
,由(Ⅱ)可知当时,上恒成立,又因为,从而证出.
试题解析:(Ⅰ)当时,),(1分)
),(2分)
解得,由解得,
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(3分)
(Ⅱ)因当时,不等式恒成立,即恒成立,设 (),只需即可. (4分)
, (5分)
(ⅰ)当时,,当时,,函数上单调递减,
 成立;(6分)
(ⅱ)当时,由,因,所以
①若,即时,在区间上,,则函数上单调递增, 上无最大值(或:当时,),此时不满足条件;
②若,即时,函数上单调递减,在区间上单调递增,同样 在上无最大值,不满足条件 ;(8分)
(ⅲ)当时,由,∵,∴
,故函数上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是

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