【题目】如图,游客从某旅游景区的景点处下上至
处有两种路径.一种是从
沿直线步行到
,另一种是先从
沿索道乘缆车到
,然后从
沿直线步行到
.现有甲、乙两位游客从
处下山,甲沿
匀速步行,速度为
.在甲出发
后,乙从
乘缆车到
,在
处停留
后,再从
匀速步行到
,假设缆车匀速直线运动的速度为
,山路
长为1260
,经测量
,
.
(1)求索道的长;
(2)问:乙出发多少后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过
,乙步行的速度应控制在什么范围内?
【答案】(1);(2)当
时,甲、乙两游客距离最短;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)根据两角和公式求得,再根据正弦定理即可求得
的长;(2)假设乙出发
后,甲、乙两游客距离为
,分别表示出甲、乙二人行走的距离,根据余弦定理建立
的二次函数关系,求出使得甲乙二人距离最短时
的值;(3)根据正弦定理求得
,乙从
出发时,甲已走了
,还需走710
才能到达
,设乙步行的速度为
,由题意得
,J解不等式即可求得乙步行速度的范围.
试题解析:(1)在中,因为
,
,
所以,
,
从而.
由正弦定理,得
(
).
(2)假设乙出发后,甲、乙两游客距离为
,此时,甲行走了
,乙距离
处
,
所以由余弦定理得,
由于,即
,
故当时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理,
得(
).
乙从出发时,甲已走了
(
),还需走710
才能到达
.
设乙步行的速度为,由题意得
,解得
,
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过
,乙步行的速度应控制在
(单位:
)范围内.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,左、右焦点
分别在
轴上,离心率为
,在其上有一动点
,
到点
距离的最小值是1.过
作一个平行四边形,顶点
都在椭圆
上,如图所示.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)判断能否为菱形,并说明理由.
(Ⅲ)当的面积取到最大值时,判断
的形状,并求出其最大值.
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【题目】已知函数,
.
(1)若曲线在
处的切线方程为
,求实数
的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数
,
,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算:
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数?
(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数?
(3)求即144的所有正约数的和.
(注:每小题结果都写成数据形式)
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【题目】小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为
.
(1)求能被
整除的概率.
(2)规定:若,则小王赢;若
,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,五面体中,
,底面
是正三角形,
,四边形
是矩形,二面角
为直二面角.
(1)在
上运动,当
在何处时,有
平面
,并说明理由;
(2)当平面
时,求二面角
余弦值.
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【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米.池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元.设池底长方形的长为x米.
(Ⅰ)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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