Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 把（a+c）2=b2+3ac整理得，a2+c2﹣b2=ac，

由余弦定理有cosB= = = ，

∵B为三角形内角，

∴B= ；

（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C=π，即B=π﹣（A+C），

∴sinB=sin（A+C），

由已知sinB+sin（C﹣A）=2sin2A可得：sin（A+C）+sin（C﹣A）=4sinAcosA，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，

整理得：cosAsinC=2sinAcosA，

若cosA=0，则A= ，于是由b=2，可得c= = ，

此时△ABC的面积为S= bc= ；

若cosA≠0，则sinC=2sinA，由正弦定理可知，c=2a，

代入a2+c2﹣b2=ac整理可得：3a2=4，

解得：a= ，进而c= ，

此时△ABC的面积S= acsinB= ，

∴综上所述，△ABC的面积为 ．

【解析】（1）把（a+c）2=b2+3ac整理得，a2+c2﹣b2=ac，根据余弦定理可得cosB的值，不难得出B的角度，（2）由三角形三内角和为π，可得sinB=sin（A+C），由已知sinB+sin（C﹣A）=2sin2A可得：sin（A+C）+sin（C﹣A）=4sinAcosA，根据两角和与差的正弦公式进行整理得：cosAsinC=2sinAcosA，分类讨论当cosA=0和cosA≠0分别求得△ABC的面积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．