Question

10．已知函数f（x）=lnx-mx（m＞0）．
（I） 若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m-2成立的m取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值g（m），设h（m）=g（m）-（m-2），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（I）若m=1，则f（x）=lnx-x．
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-1（x＞0）$．
所以f'（1）=0，f（1）=-1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1．…（5分）
（II） 因为$f'（x）=\frac{1}{x}-m（x＞0）$，
当$x∈（0，\frac{1}{m}）$时，f'（x）＞0；$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$时，f'（x）＜0．
所以f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$上单调递增；在$（\frac{1}{m}，+∞）$上单调递减．
所以f（x）的最大值$g（m）=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．g（m）＞m-2，即g（m）-（m-2）＞0．．
设h（m）=g（m）-（m-2）=-lnm-m+1．
因为$h'（x）=-\frac{1}{m}-1＜0$，
所以h（m）在（0，+∞）上单调递减．
又因为h（1）=0
所以当0＜m＜1时，h（m）＞h（1）=0．
所以m取值范围为（0，1）．…（13分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、最值问题，是一道中档题．