Question

6．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，-2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；
（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，-1-m），结合直线与圆的位置关系可得（m-1）²+（m-1）²+m²+（m+1）²=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，-2）
∴直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{1+2}{1-4}=-1$…（1分）
∴直线AB的垂直平分线的斜率为1 …（2分）
又线段AB的中点坐标为$（\frac{5}{2}，-\frac{1}{2}）$
∴线段AB的垂直平分线的方程是$y+\frac{1}{2}=x-\frac{5}{2}$，即x-y-3=0…（3分）
∵圆心C在直线l：x+y+1=0上
∴圆心C的坐标是方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.$的解，得圆心C的坐标（1，-2）…（4分）
∴圆C的半径长$r=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（1+2）}^2}}=3$…（5分）
∴圆C的标准方程是（x-1）²+（y+2）²=9…（6分）
（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r
∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称
∴点P在直线l：x+y+1=0上
∴可以设点P坐标为（m，-1-m）…（7分）
∵以MN为直径的圆经过原点O
∴以MN为直径的圆的半径长$r=|{OP}|=\sqrt{{m^2}+{{（m+1）}^2}}$…（8分）
∵MN是圆C的弦，
∴|CP|²+r²=9，即（m-1）²+（m-1）²+m²+（m+1）²=9，解得m=-1或$m=\frac{3}{2}$
∴点P坐标为（-1，0）或$（\frac{3}{2}，-\frac{5}{2}）$…（10分）
∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，
∴直线MN的斜率为1…（11分）
∴直线MN的方程为：x-y+1=0或x-y-4=0…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合运用，涉及直线与圆的位置关系，解题的关键求出圆的标准方程．