Question

9．如图所示的三棱台中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，AA₁=1，AB=2，BC=4，∠ABB₁=45°．
（1）证明：AB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若点D为CC₁中点，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过点B₁作B₁N⊥AB．说明△BNB₁为等腰直角三角形，证明AB₁⊥BB₁．AA₁⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB₁A₁，得到BC⊥AB₁，然后证明AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz．如图，求出平面ABD的一个法向量．平面BCC₁B₁的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （1）证明：如图，过点B₁作B₁N⊥AB．
∵∠B₁BN=45°，
故△BNB₁为等腰直角三角形，
∴B₁N=BN=1，
∴$B{B_1}=\sqrt{2}$，∴$A{B_1}^2+B{B_1}^2=A{B^2}$，
∴AB₁⊥BB₁．
又∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC．
又AB⊥BC，且AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥AB₁，
又∵BC∩BB₁=B，
∴AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B₁（1，0，1），C₁（1，2，1），∴$D（\frac{3}{2}，3，\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{AD}=（\frac{3}{2}，3，\frac{1}{2}）$．
由（1）知，平面BCC₁B₁的一个法向量为$\overrightarrow{A{B_1}}=（1，0，1）$．
设平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ \frac{3}{2}x+3y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$
令y=1，则$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=-6\end{array}\right.$∴$\overrightarrow n=（0，1，-6）$，$cos＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{A{B_1}}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{-6}{{\sqrt{2}•\sqrt{37}}}=-\frac{{3\sqrt{74}}}{37}$．
故二面角A-BD-C的余弦值为$-\frac{{3\sqrt{74}}}{37}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及计算能力．