Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣mex（m∈R，e为自然对数的底数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设x1 ， x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个两点，求证x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=1﹣mex．

当m≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数；

当m＞0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣lnm，∴f（x）在（﹣∞，﹣lnm）上为增函数；

由f′（x）＜0，得x＞﹣lnm，∴f（x）在（﹣lnm，+∞）上为减函数

（2）解：f（x）≤e2xm≥ ，

设g（x）= ，则g′（x）= ，

当x＜0时，1﹣e2x＞0，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

当x＞0时，1﹣e2x＜0，g′（x）＜0，则g（x）在（0，﹣∞）上单调递减．

∴g（x）max=g（0）=﹣1，则m≥﹣1

（3）证明：f（x）有两个不同零点x1，x2，则 ，

因此 ，即m= ．

要证x1+x2＞2，只要证明 ＞2，即证 ＞2．

不妨设x1＞x2，记t=x1﹣x2，则t＞0，et＞1，

因此只要证明 ＞2，即（t﹣2）et+t+2＞0．

记h（t）=（t﹣2）et+t+2（t＞0），h′（t）=（t﹣1）et+1，h″（t）=tet．

当t＞0时，h″（t）=tet＞0，∴h′（t）＞h′（0）=0，

则h（t）在（0，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（0）=0，

即（t﹣2）et+t+2＞0成立．

∴x1+x2＞2．

【解析】（1）求出原函数的导函数f′（x）=1﹣mex ． 当m≤0时，则f′（x）＞0，函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数；当m＞0时，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）f（x）≤e2xm≥ ，设g（x）= ，利用导数求出g（x）的最大值，则实数m的取值范围可求；（3）由f（x）有两个不同零点x1 ， x2 ， 得 ，两式作差可得 ，即m= ．要证x1+x2＞2，只要证明 ＞2，即证 ＞2．不妨设x1＞x2 ， 记t=x1﹣x2 ， 则t＞0，et＞1，转化为（t﹣2）et+t+2＞0．构造函数h（t）=（t﹣2）et+t+2（t＞0），利用导数证明（t﹣2）et+t+2＞0成立．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．