【题目】如图1,梯形中,
,过
分别作
,
,垂足分别为
、
.
,
,已知
,将梯形
沿
,
同侧折起,得空间几何体
,如图2.
(1)若,证明:
平面
;
(2)在(1)的条件下,若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证平面
,得到
,结合
,可证得
平面
;
(2)以,
,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,求出面ADF与面ACF的法向量,利用夹角公式,求出两法向量夹角的余弦值,由图可知二面角
为锐角,则它的余弦值为正值,即可得到本题答案.
(1)由已知得四边形是正方形,且边长为2,
在图2中,,由已知得
,
,∴
平面
,
又平面
,∴
,又
,
,∴
平面
.
(2)在图2中,由(1)知,
,
两两垂直,
以为坐标原点,以
,
,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
.设平面
的一个法向量为
,
由得
,不妨取
,得
,
设平面的一个法向量为
,
由得
,取
,得
,
.
由图可得,二面角为锐角,所以它的余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)若,
,求
的值域;
(2)当时,求
的最小值
;
(3)是否存在实数、
,同时满足下列条件:①
;② 当
的定义域为
时,其值域为
.若存在,求出
、
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,四边形
为正方形,△
为等边三角形,
是
中点,平面
与棱
交于点
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面
;
(III)记四棱锥的体积为
,四棱锥
的体积为
,直接写出
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了1400万元购买了一块空地,规划建设8幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米,第一层建筑费用是每平方米3000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元.
(1)若该经适楼房每幢楼共层,总开发费用为
万元,求函数
的表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用);
(2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入,选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索,并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段,选修课的教学、管理还存在很多的问题,所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案,为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩,统计数据如下表:
成绩优秀 | 成绩不够优秀 | 总计 | |
参加选修课 | 16 | 9 | 25 |
不参加选修课 | 8 | 17 | 25 |
总计 | 24 | 26 | 50 |
(1)试运用独立性检验的思想方法你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”,并说明理由;
(2)如果从数学专业随机抽取5名学生,求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望(将频率当做概率计算).
参考公式:,其中
.
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数,下列
个结论正确的是__________(把你认为正确的答案全部写上).
(1)任取,都有
;
(2)函数在
上单调递增;
(3),对一切
恒成立;
(4)函数有
个零点;
(5)若关于的方程
有且只有两个不同的实根
,
,则
.
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