Question

【题目】如图1，梯形中，，过分别作，，垂足分别为、.，，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2.

（1）若，证明：平面；

（2）在（1）的条件下，若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证平面，得到，结合，可证得平面；

（2）以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF与面ACF的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案.

（1）由已知得四边形是正方形，且边长为2，

在图2中，，由已知得，，∴平面，

又平面，∴，又，，∴平面.

（2）在图2中，由（1）知，，两两垂直，

以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.设平面的一个法向量为，

由得，不妨取，得，

设平面的一个法向量为，

由得，取，得，

.

由图可得，二面角为锐角，所以它的余弦值为