Question

已知函数f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1处的切线方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

(1) y=(a+1)x   (2) (-∞,-1]

(1)∵x>0,f'(x)=+a,
∴f'(1)=a+1,切点是(1,a+1),
所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1),
即y=(a+1)x.
(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.
①当a≥0时,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,显然当x>1时,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.
②当a<0时,x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)_max=f(x)_极大值=f(-)=ln(-)≤0,
∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].
方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等价于ax≤-lnx-1,即a≤,
令h(x)=,
则h'(x)=-+=,
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)_min=h(x)_极小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].