Question

已知点B′为圆A：（x-1）²+y²=8上任意一点、点B（-1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x，y）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线xx+2yy=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A的坐标，由题意可知M满足椭圆的定义，求a、b可得它的方程．
（2）设出定点利用对称知识，和已知直线垂直，中点在已知直线上，解出定点坐标即可．
解答：解：（1）连接MB，
∴MB=MB'，
故、而AB=2（4分）
∴点M的轨迹是以A、B为焦点且长轴长为的椭圆．
∴点M的轨迹E的方程为（8分）
（2）证明：设点
关于直线xx+2yy=2的对称点为Q（a，b）
所以．
即（10分）
∴bx（2-x）=2y（2-x）（a+1）．
∵x≠2
∴bx-2y（a+1）=0（14分）
因为上式对任意x，y成立，
故
所以对称点为定点Q（-1，0）．（16分）
点评：本题考查圆的标准方程，点关于直线对称问题，轨迹的求法，是难题．