【题目】设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,且x∈(0,+∞),f(f(x)﹣ex+x)=e.若不等式2f(x)﹣f′(x)﹣3≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,e﹣2]B.(﹣∞,e﹣1]C.(﹣∞,2e﹣3]D.(﹣∞,2e﹣1]
【答案】A
【解析】
先利用换元法求出f(x)的解析式,然后再用分离变量法,借助导数研究函数的单调性来解决问题.
设f(x)﹣ex+x=t,则f(t)=e,
∴f(x)=ex﹣x+t,令x=t得f(t)=et﹣t+t=e,解得t=1,
∴f(x)=ex﹣x+1,
f′(x)=ex﹣1,
不等式2f(x)﹣f′(x)﹣3≥ax,x∈(0,+∞).即:a2.
令g(x)2,x∈(0,+∞).
g′(x),
所以在上递减,在上递增,
所以x=1时,函数g(x)取得极小值即最小值..
∵不等式2f(x)﹣f′(x)﹣3≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤e﹣2.
∴a的取值范围是(﹣∞,e﹣2].
故选:A.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ-8cosθ=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中,倾斜角为α的直线l过点P(2,0).
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)设点Q与点G的极坐标分别为,(2,π),若直线l经过点Q,且与曲线C相交于A,B两点,求△GAB的面积.
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【题目】产能利用率是工业总产出对生产设备的比率,反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为,称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是( )
A.10个季度中,汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个
B.10个季度中,汽车产能利用率的中位数为
C.2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为
D.与上一季度相比,汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度
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【题目】已知椭圆Γ:的离心率为,左右焦点分别为F1,F2,且A、B分别是其左右顶点,P是椭圆上任意一点,△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆Γ的方程.
(2)如图,四边形ABCD为矩形,设M为椭圆Γ上任意一点,直线MC、MD分别交x轴于E、F,且满足,求证:AB=2AD.
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【题目】已知定点,,动点P为平面上一个动点,且直线SP,TP的斜率之积为.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点,是否存在斜率为直线l,使得l交轨迹E于M,N两点,且恰是的重心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影,在A处测得B处的仰角为37度,在A处测得C处的仰角为45度,在B处测得C处的仰角为53度,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为( )(参考数据)
A.30米B.50米C.60米D.70米
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