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图是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱.每个小网箱的长为x米,宽为y米.若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过15米.
(Ⅰ)设总造价为W元,试求出W关于x的函数关系式;
(Ⅱ)小网箱的长、宽分别为多少米时,可使总造价最低?
分析:(1)利用已知条件列出面积然后写出利润表达式.
(2)通过函数的导数判断函数的单调性求出闭区间上的最小值即可.
解答:解:(1)依题意得:4x•2y=160,∴xy=20.…(1分)
∵4x≤15,且2y≤15,∴x≤
15
4
,y≤
15
2

又∵y=
20
x
15
2
.所以
8
3
≤x≤
15
4
.…(3分)
∴W=(8x+4y)•112+(4x+6y)•96
=(8x+4×
20
x
)•112+(4x+6×
20
x
)•96
=1280(x+
16
x
) (
8
3
≤x≤
15
4
)…(7分)
(2)由(1)可知W′=1280(1-
16
x2
)=1280(
x2-16
x2

又∵x∈[
8
3
15
4
],∴W′<0 …(8分)
所以W(x)在[
8
3
15
4
]上单调递减. …(10分)
所以当x=
15
4
时,W最小,此时x=
15
4
,y=
16
3
.…(12分)
即当小网箱的长与宽分别为
15
4
米与
16
3
米时,可使总造价最低.…(13分)
(注:若用基本不等式时注意等号取不到,其解法请参照给分.)
点评:本题考查函数的解析式的求法,利用导数求解函数的最小值,考查分析问题解决问题的能力.
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如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱.
(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小;
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过15米,则小网箱的长、宽为多少米量,可使总造价最低?
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