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精英家教网已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱. 如图所示.
(1)若设圆柱底面半径为r,求证:r=R(1-
xH
);
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出这个最大值.
分析:(1)我们可以画出圆锥的轴截面,将空间问题转化为平面问题,然后根据相似三角形的性质和比例的性质,易得到结论.
(2)由圆柱的侧面积公式,我们易得S=2πrx=2πxR(1-
x
H
),展开后易得一个关于x的二次函数解析式,根据二次函数的性质易得到其最大值,及对应的x的值.
解答:解:(1)根据已知,如下图所示
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记轴截面为△SAB,EFGH为内接矩形,F在SB上.
x
H
=
BF
SB
r
R
=
SF
SB

x
H
+
r
R
=1

r=R(1-
x
H
).(4分)
(2)S=2πrx=2πxR(1-
x
H
)(6分)
=
2πR
H
[-(x-
H
2
)
2
+
H2
4
]
(8分)
当x=
H
2
时,ymax=
πRH
2
(10分)
点评:本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的侧面积公式,将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其中有一个高为x的内接圆柱(其中R,h均为常数).
(1)当x=
23
h时,求内接圆柱上方的圆锥的体积V;
(2)当x为何值时,这个内接圆柱的侧面积最大?并求出其最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面;
(2)求圆柱的侧面积;               
(3)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?

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如图,已知一个圆锥的底面半径为R=1,高为h=2.,一个圆柱的下底面在圆锥的底面上,且圆柱的上底面为圆锥的截面,设圆柱的高为x.
(1)求圆柱的侧面积.
(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?

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已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面;
(2)求圆柱的侧面积;
(3)x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大侧面积为多少?

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