Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点；
（2）若A₁B⊥AC₁，求三棱锥P-A₁AC的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取AB中点Q，
∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
∴AB⊥QP
∴P为A₁B的中点（4分）
（Ⅱ）连接AB₁，取AC中点R，连接A₁R，
则BR⊥平面A₁C₁CA，由已知A₁B⊥AC₁，
∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA
∴，∴AC=A₁A（6分）
则AA₁=，则AC=2
∵

∴h=（10分）
∴（12分）
分析：（1）取AB中点Q，CQ⊥AB，AB⊥CP?AB⊥QP?P为A₁B中点
（2）用等体积转化，VP-A₁AC=V=CQ，
点评：求三棱锥的体积通常将体积转化或直接求三棱锥的高和底面积进行计算