Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2an﹣2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（ ）x ， 数列{bn}满足条件b1=2，f（bn+1）= ，（n∈N*），若cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1，a1=2a1﹣2，即a1=2，
当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1 ，
∴an=2an﹣1 ，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2×2n﹣1=2n ，
数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ∵）f（x）=（ ）x ， f（bn+1）= ，（n∈N*），
∴ = ，
∴ = ，即bn+1=bn+3，
∴bn+1﹣bn=3，
b1=f（﹣1）=2，
∴数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴bn=3n﹣1，
cn= = ，
∴Tn= + + +…+ + ，
Tn= + + +…+ + ，
两式相减得： Tn=1+ + + +…+ ﹣ ，
=1+ × ﹣ ，
=1+ （1﹣ ）﹣ ，
∴Tn=2+3（1﹣ ）﹣ ，
=2+3 ﹣ ，
∴Tn=5
【解析】（Ⅰ）由当n=1，a1=2，当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 ， 可知an=2an﹣1 ， 数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{an}的通项公式an=2n；（Ⅱ）f（bn+1）= ，（n∈N*），代入即可求得bn+1=bn+3，b1=f（﹣1）=2，数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，cn= = ，利用“错位相减法”即可求得，数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．