Question

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=

3

2

；sin25°+sin265°+sin2125°=

3

2

sin220°+sin280°+sin2140°=

3

2

通过观察上述三个等式的规律，请你写出一般性的命题：

 

=

3

2

（*），并给出（*）式的证明．

Answer 1

分析：分析已知条件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答：解：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
证明    左边=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°）]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（9分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（11分）
=

3

2

=右边
∴原式得证                                    …（12分）
（将一般形式写成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，
sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正确，其证明过程可参照给分．）
故答案为：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．