Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，该椭圆的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点P(0，

5

3

)的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay-ab=0，利用原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，椭圆的离心率为

3

2

，建立方程可求a、b的值，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0；当直线斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+

5

3

，代入

x2

4

+y2=1，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0，进而可求线段MN的垂直平分线方程，由此即可求得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay-ab=0
∵原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，∴

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

①
∵椭圆的离心率为

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

②
由①②可得：a=2，b=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0
当直线斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+

5

3

，代入

x2

4

+y2=1，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0
∵△=14400k²-256（9+36k²）＞0，∴k2＞

4

9

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀）
∴x0=

x1+x2

2

=

-20k

3+12k2

，y0=kx0+

5

3

=

5

3+12k2

∴Q(

-20k

3+12k2

， 

5

3+12k2

)
∴线段MN的垂直平分线方程为y-

5

3+12k2

=-

1

k

(x+

20k

3+12k2

)
令x=0，则y=

-15k

3+12k2

，
由k2＞

4

9

，可得-

9

5

＜y＜0
∴线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围为(-

9

5

，0]．

点评：本题综合考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是确定线段MN的垂直平分线．