已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点($\frac{3}{2}$.-$\frac{\sqrt{6}}{2}$).且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．(I)求椭圆C的标准方程,(II)若点A(x1.y1).B(x2.y2)是椭圆C上的亮点.且x1≠x2.点P(1.0).证明:△PAB不可能为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C上的亮点，且x₁≠x₂，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．

分析（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出PA，PB，证明|PA|≠|PB|，即可证明：△PAB不可能为等边三角形．

解答（I）解：由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得${a}^{2}=\frac{9}{2}，{b}^{2}=3$．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{2{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）证明：证明：A（x₁，y₁），则$2{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}=9$，且x₁∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
|PA|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}2}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3-\frac{2}{3}{{x}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}（{x}_{1}-3）^{2}+1}$，
B（x₂，y₂），同理可得|PB|=$\sqrt{\frac{1}{3}（{x}_{2}-3）^{2}+1}$，且x₂∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．
y=$\frac{1}{3}（x-3）^{2}+1$在[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]上单调，
∴有x₁=x₂?|PA|=|PB|，
∵x₁≠x₂，∴|PA|≠|PB|，
∴△PAB不可能为等边三角形．

点评本题考查直线与椭圆的位置关系，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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