Question

奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，且f（1）=8，则f（2008）+f（2009）+f（2010）的值为

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   6
4. D.
   8

Answer 1

D
分析：根据对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），求出函数f（x）周期为4，要求f（2008）+f（2009）+f（2010），即要求f（0）+f（1）+f（2）的值，而由函数f（x）是R上的奇函数，可得f（0），根据f（x+2）=-f（x），令x=0，可求得f（2）的值，从而求得结论．
解答：∵对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵函数f（x）是R上的奇函数，且f（1）=8，
∴f（0）=0，f（2）=-f（0）=0，
∴f（2008）+f（2009）+f（2010）=f（0）+f（1）+f（2）=8．
故选D．
点评：此题是个中档题．考查函数的周期性和奇偶性，是道综合题，其中探讨函数的周期性是难点．