【题目】已知正三棱柱的底面边长为,为的中点,平面与平面所成的锐二面角的正切值是,则四棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
延长C1D与CB的延长线交于点M,连接AM.推导出D也是C1M的中点,AM∥DE,AM⊥平面ACC1A1,可得;再根据四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱ABC-的外接球,找到球心位置,根据勾股数求得半径,即可得到表面积.
如图,延长C1D与CB的延长线交于点M,连接AM.
∵B1C1∥BC,D为BB1的中点,∴D也是C1M的中点,
又取E是AC1的中点,∴AM∥DE.
∵DE⊥平面ABB1A1,∴AM⊥平面ACC1A1.
∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角.
∴tan∠C1AC,∴,又AC=,则
又四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱的外接球,其球心在底面ABC中心正上方的处,又底面外接圆的半径为2r=∴,
∴四棱锥外接球的表面积为,
故答案为19.
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【题目】已知函数是定义在上的奇函数,当时,.则下列结论正确的是( ).
A.当时,
B.函数有五个零点
C.若关于的方程有解,则实数的取值范围是
D.对,恒成立
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【题目】某社区为了解居民参加体育锻炼情况,随机抽取18名男性居民,12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类:甲类(不参加体育锻炼),乙类(参加体育锻炼,但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时),丙类(参加体育锻炼,且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时),调查结果如下表:
(1)根据表中的统计数据,完成下面列联表,并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与性别有关?
(2)从抽出的女性居民中再随机抽取3人进一步了解情况,记为抽取的这3名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值,求的数学期望.
附:
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟).
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 34 | 51 | 59 | 66 | 65 | 25 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 40 | 160 | |
合计 |
(2)通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
参考公式:,其中.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图,已知椭圆 的长轴,长为4,过椭圆的右焦点作斜率为()的直线交椭圆于、两点,直线,的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,直线,分别与相交于、两点,设为线段的中点,求证:.
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【题目】[2019·吉林期末]一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为和,求的概率.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,原点为,椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴,弦的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点.
(Ⅰ)证明:点在定直线上;
(Ⅱ)当最大时,求的面积.
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【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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