Question

试用函数单调性的定义判断函数f(x)=

2x

x-1

在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答时，首先要结合定义域和所给区间任设两个变量并保证大小关系，然后通过作差法即可获得相应变量对应函数值的大小关系，结合函数单调性的定义即可获得问题的解答．

解答：证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2x1

x1-1

-

2x2

x2-1

═

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

由于0＜x₁＜x₂＜1，x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f(x)=

2x

x-1

在（0，1）上是减函数．

点评：本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及分解因式等知识．值得同学们体会和反思．