若${^9}$的展开式的第8项的系数是a4.且对任意实数x.有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3.则a1+a2+a3+a4的值为-17．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．若${（a-\frac{1}{a}）^9}$的展开式的第8项的系数是a₄，且对任意实数x，有x³=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+a₃（x-2）³，则a₁+a₂+a₃+a₄的值为-17．

分析写出${（a-\frac{1}{a}）^9}$的展开式的第8项，求得a₄，再求出a₁+a₂+a₃的值，则答案可求．

解答解：由题意得${T}_{8}={C}_{9}^{7}•{a}^{2}•（-\frac{1}{a}）^{7}=（-1）^{7}{C}_{9}^{7}•\frac{1}{{a}^{5}}$，
∴${a}_{4}=-{C}_{9}^{7}=-36$．
由x³=[2+（x-2）]³=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+a₃（x-2）³，
故a₁=${C}_{3}^{1}$•2²=12，a₂=${C}_{3}^{2}$•2=6，a₃=${C}_{3}^{3}$=1，∴a₁+a₂+a₃=19．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=-36+19=-17．
故答案为：-17．

点评本题考查二项式系数的性质，考查组合数的求法，是基础的计算题．

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