Question

已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b．则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成中心对称”．设函数f（x）=

x+1-a

a-x

，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）写出f（x）的单调区间（不证明），并求当x∈[a-2，a-1]时，函数f（x）的值域；
（3）对于给定的x₁∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=1，2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x_i∉A，构造过程将停止．若对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据中心对称的定义和性质证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）根据函数的单调性写出f（x）的单调区间，利用函数单调性求函数f（x）的值域；
（3）根据设计过程，进行推理即可．

解答：解：（1）证明：∵f(x)=

x+1-a

a-x

=-1+

1

a-x

，
∴f(a+x)+f(a-x)=-1+

1

a-(a+x)

-1+

1

a-(a-x)

=-2
由已知定理知y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）由f(x)=

x+1-a

a-x

=-1+

1

a-x

知f(x)在(-∞，a)，(a，+∞)上为减函数，
∴当x∈[a-2，a-1]时，f(x)的值域为[-

1

2

，0]
（3）∵对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，
∴f(x)=

x+1-a

a-x

≠a对任意x∈A恒成立∴方程

x+1-a

a-x

=a无解
即方程（a+1）x=a²+a+1无解，或有唯一解x=a，
∴

a+1=0 a2+a+1≠0

或

a+1≠0 (a+1)a=a2+a+1

由此得a=-1

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．