Question

已知正四棱锥的侧棱长为2，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．
解答：解：设底面边长为a，则高h==，
所以体积V=a²h=，
设y=12a⁴-a⁶，则y′=48a³-3a⁵，
y′=48a³-3a⁵=0，
解可得a=4，
且当a＞4时，y′≤0，函数y=12a⁴-a⁶，在区间（4，+∞）是减函数；
当0＜a＜4时，y′＞0，函数y=12a⁴-a⁶，在区间（0，4）是增函数；
∴当a=4时，函数y=12a⁴-a⁶，取得最大值，即此时体积最大，
此时h==2，
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，正确记忆其体积公式并且能够灵活的利用导数解决最值问题．