Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值．

Answer 1

（I）利用导数法求解单调区间即可证明；（II）t=2

试题分析：（I）f’(x)=a^xln^a+2x-ln^a=(a^x-1) ln^a +2x 
当a>1时，ln^a >0
当x∈（0，+∞）时，a^x-1>0,2x>0
∴f’(x)>0，∴f(x)在（0，+∞）↑
（II）当a>1时，x∈（-∞，0）时，a^x-1<0,2x<0
f’(x)<0，∴f(x)在（-∞，0）↓
当0<a<1时, x∈（0，+∞）时，ln^a <0, a^x-1<0,
f’(x)>0,f(x)在（0，+∞）↑
x ∈（-∞，0）时, a^x-1>0, ln^a <0
f’(x)<0, f(x)在（-∞，0）↓
∴当a>0且a≠1时，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑
∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点.
f(x)_min=f(0)=1
若y=[f(x)-t]-1有三个零点，即|f(x)-t|=1，f(x)=t±1有三个根，所以t+1>t-1
∴t-1="f" (x)_min= 1，∴t=2
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．