Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（1）求证：为关于的方程的两根；

（2）设，求函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意可知：

∵   ，   ……………………………2分

∴切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，  ①

同理，由切线也过点，得．②

由①、②，可得是方程（ * ）的两根……………………………4分

（2）由（ * ）知．

       ，

       ∴ ．……………………………8分

（3）易知在区间上为增函数，

，

则．……………………10分

即，即，

所以，由于为正整数，所以．

又当时，存在，满足条件，

所以的最大值为．      …………12分