Question

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为a_n，则

an+49

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到

解答： 解：由题意：[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) n-1，x∈[n-1，n)

，∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) (n-1)x，x∈[n-1，n)

，
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

+1，
∴

an+49

n

=

1

2

（n+

100

n

-1）≥

1

2

（2×10-1）=

19

2

，当且仅当n=10时取等号．
故答案为：

19

2

点评：本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．