Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）证明四边形AA1B1B是平行四边形，得出AB∥A1B1，故而AB∥平面A1B1C；

（2）由C1M⊥A1B1，CC1⊥B1A1，得出B1A1⊥平面C1CM，从而平面C1CM⊥平面A1B1C．

证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1，

∴四边形AA1B1B是平行四边形，

∴AB∥A1B1，

又AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

∴AB∥平面A1B1C．

（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，

∵AB=BC，∴A1B1=B1C1，

∵M是A1B1的中点，

∴C1M⊥A1B1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1平面A1B1C1，

∴CC1⊥B1A1，

又CC1∩C1M=C1，

∴B1A1⊥平面C1CM，

又B1A1平面A1B1C1，

∴平面C1CM⊥平面A1B1C．