【题目】已知,.
若,解不等式;
若不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
若,解不等式.
【答案】(1)解集为,或;(2)a的范围为;(3)见解析.
【解析】
分析: (1)当a=1,不等式即(x+2)(x﹣1)≥0,解此一元二次不等式求得它的解集;(2)由题意可得(a+2)x2+4x+a﹣1>0恒成立,当a=﹣2 时,显然不满足条件,故有 ,由此求得a的范围;(3)若a<0,不等式为 ax2+x﹣a﹣1>0,即再根据1和﹣的大小关系,求得此不等式的解集.
详解:
当,不等式即,即,解得,或,
故不等式的解集为,或.
由题意可得恒成立,
当时,显然不满足条件,.
解得,故a的范围为.
若,不等式为,即.
,
当时,,不等式的解集为;
当时,,不等式即,它的解集为;
当时,,不等式的解集为.
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【题目】已知抛物线和的焦点分别为, 交于O,A两点(O为坐标原点),且
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点O的直线交的下半部分于点M,交的左半部分于点N,点,求面积的最小值.
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【题目】如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,且,
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.
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【题目】已知极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1:ρ=1, (t为参数).
(Ⅰ)求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值;
(Ⅱ)若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍,纵坐标扩大为原来的 倍,得到曲线 .设P(﹣1,1),曲线C2与 交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
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【题目】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点,且椭圆的离心率是.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是,求直线的方程.
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