Question

9．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）上单调递减”的充分不必要条件．

Answer 1

分析 根据二次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：当a＞0时，f（x）=|ax²-x|=|a（x²-x）|=|a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
则函数f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²-x|=|ax（x-$\frac{1}{a}$）|=0得两个根分别为x=0或x=$\frac{1}{a}$＞0，
∴函数f（x）=|ax²-x|在区间（-∞，0）内单调递减，正确．
当a=0时，函数f（x）=|ax²-x|=|x|，满足在区间（-∞，0）上单调递减”，
当a＞0时，f（x）=|ax²-x|=|ax（x-$\frac{1}{a}$）|=0得两个根分别为x=0或x=$\frac{1}{a}$＞0，此时满足条件．
当a＜0时，f（x）=|ax²-x|=|ax（x-$\frac{1}{a}$）|=0得两个根分别为x=0或x=$\frac{1}{a}$＜0，函数在（-∞，$\frac{1}{a}$）上单调递增，
∴此时a＜0不成立．
综上此时a≥0．
∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（-∞，0）内单调递减”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．