Question

设a∈R，f（x）为奇函数，且．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2），若时，恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由奇函数的特性f（0）=0，解出a=1可得f（x）的解析式为f（x）=．再由指数函数的值域，解关于y的不等式即可求出f（x）的值域；
（2）将原不等式化简，可得≤对x∈恒成立，由此结合对数函数的单调性和定义域，化简得到k²≤1-x²对于x∈恒成立，可得实数k的取值范围．
解答：解：（1）令t=2x，得f （x）=-------------------------------（1分）
∵f （x）是奇函数，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函数的解析式为f（x）=-----------------------------（3分）
∵由y=解出2^x=＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域为 （-1，1）-------------------------------------------------（6分）
（2）≤对x∈恒成立
即：≤，
不等式≤对x∈恒成立------（8分）
即----①，对于x∈恒成立
由①，得k²≤1-x²对于x∈恒成立---------------------------（10分）
∴k²≤1-=，解之得0＜k≤----------------------------------（12分）
点评：本题给出含有指数式的分式型函数，求函数的奇偶性和值域，并依此讨论不等式恒成立时实数k的范围．着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性和函数恒成立问题等知识，属于中档题．