【题目】已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.
(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;
(2)设an=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)设bn=(9-n) ,n∈N*,Sn为{bn}的前n项和,当Sn最大时,求n的值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3)当n=8或n=9时,Sn取得最大值.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合递推关系可得:{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,则.
(2)由题意可得: ,错位相减有: ,则有a1+a2+a3+…+an<2;
(3)结合(1)的结论可得: ,则当n=9时,bn=0;当n>9时,bn<0.故当n=8或n=9时,Sn取得最大值.
试题解析:
(1)解 令x=n,y=1,
得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),
∴{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,
∴f(n)=()n.
(2)证明 设Tn为{an}的前n项和,
∵an=n·f(n)=n·()n,
∴Tn=+2×()2+3×()3+…+n×()n,
Tn=()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,
两式相减得Tn=+()2+()3+…+()n-n×()n+1,
=1-()n-n×()n+1,
∴Tn=2-()n-1-n×()n<2.
(3)解 ∵f(n)=()n,
∴bn=(9-n)
=(9-n)=.
∴当n≤8时,bn>0;
当n=9时,bn=0;
当n>9时,bn<0.
∴当n=8或n=9时,Sn取得最大值.
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【题目】设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为__________________________;
(2)若a>-1,直线l与x、y轴分别交于M、N两点,O为坐标原点,则△OMN的面积取最小值时,直线l对应的方程为________________.
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【题目】已知圆C1的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1、C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设 ,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
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【题目】若函数对定义域D内的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,则称f (x)为“自倒函数”.给出下列命题:
①是自倒函数;
②自倒函数f (x)可以是奇函数;
③自倒函数f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函数,且定义域相同,则也是自倒函数.
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号).
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【题目】给出集合.
(1)若,求证:函数;
(2)由(1)分析可知, 是周期函数且是奇函数,于是张三同学得出两个命
题:命题甲:集合中的元素都是周期函数.命题乙:集合中的元素都是奇函数. 请对此
给出判断,如果正确,请证明;如果不正确,请举反例;
(3)若,数列满足: ,且 ,数列的前项
和为,试问是否存在实数、,使得任意的,都有成立,若
存在,求出、的取值范围,若不存在,说明理由.
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