Question

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天从0时至24时的时间x（单位：时）与水深y（单位：米）的关系表：

（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；
（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？

Answer 1

分析：（1）设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．
（2）据题意列出不等式，利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出t的范围．

解答：解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，考虑用函数y=h+Asin（ωx+φ）刻画水深与时间之间的对应关系．
从数据可以得出：A=3，h=12，T=12，φ=0．
由T=

2π

ω

=12，得ω=

π

6

．
所以这个港口的水深与时间的关系可用y=12+3sin

π

6

x，x∈[0，24]近似描述．

（2）货船需要的安全水深为12+1.5=13.5，所以当y≥13.5时就可以进港．
令12+3sin

π

6

x≥13.5，∴sin

π

6

x≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

•x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
即12k+1≤x≤12k+5，k∈Z．
∵x∈[0，24]，∴1≤x≤5或13≤x≤17．
因此，货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．
每次可以在港口最多能停留4小时．

点评：本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式．